There are essentially three generations of interest rate models. The first generation
is modeling the interest rate directly. They are the so called short-term interest
rate models. Models of the second generation comprise the Heath-Jarrow-Morton
(HJM) models modeling the entire forward curve. The HJM type approach automatically
fits the yield curve. The driving state variable of this model is the forward
rate. It can be shown that all short rate model can be formulated in the HJM framework
[47]. The last generation comprises the LIBOR market model (LMM) or Brace-
Gatarek-Musiela model which attempts to model specific parts of the forward curve.
역사적으로 현재까지 세가지 종류의 이자율 모델이 있다. 첫번째 세대는 이자율을 직접 모델링한 것이다. 소위 Short-term 이자율 모델이라고 불리는 것이 여기에 포함된다. 두번째 세대는 HJM 모델이 forward curve를 전체적으로 모델링 한것에 따른다. HJM 형태의 접근은 자동적으로 yield curve에 fitting할 수 있는데, 이는 모델을 움직이는 상태변수가 곧 forward rate이기 때문이다. 때문에 모든 short-rate 모델은 HJM의 framework을 따르게할 수 있다. 마지막 세대는 LMM 또한 BGM 모델이다. 이는 특정한 부분의 forward curve를 정확하게 모델링하기 위한 시도다.
The above mentioned first generation of interest rate modeling has been used in
pricing of interest rate derivatives in a number of different ways. One of the oldest
approaches is based on modeling the short-term interest rate by Merton [47] and by
Vaˇsiˇcek [42]. The main assumption of these works is the normality of the interest
rates, so there is a possibility to become negative. Dothan [47], Rendleman and Bartter
[59] proposed a log-normal distribution for the short-term interest rate and have
avoided this disadvantage. Cox, Ingersoll, and Ross [42] proposed instead a noncentral
χ2 distribution. Another example of these models is the Brennan-Schwartz
[47] model. The above mentioned models are endogenous term structure models.
Hence the initial term structure is the output of the model. In addition, the general
equilibrium conditions are used to endogenize the interest rate and the price of all
contingent claims.
1세대 이자율 모델은 다양한 방법으로 이자율 파생상품의 가격결정을 위해 사용되었다. 가장 오래된 방법 중 하나로는 Merton과 Vasicek이 그것이다. 가장 기본적인 이들 작업의 가정은 이자율의 normality이고, 그래서 음수가 될 수 있는 결정적인 문제를 가지고 있었다. Dothan, Rendlesman 과 Bartter는 log-normal 분포를 제안하였고 이러한 문제를 벗어날 수 있었다. CIR 모델은 Kai-sqruare의 noncentral 분포를 제안했다. 그외로 Brennan-Schwartz model이 있다. 위의 모델들은 endogenous term structure models이다. 때문에 초기 term structure가 모델의 결과물이 되며, 게다가 general equilibrium condition들이 이자율과 관련 상품들의 가격을 endogenize(To develop something internally)하게 하기위해 쓰인다.
The problem of the first generation is that they in general do not fit the initial yield
curve. This problem have been solved by the second generation of the interest rate
models, the so called no-arbitrage models. In this set of models the initial term structures
are taken as inputs to the model and the values of contingent claims obtained
19
from them are automatically consistent with these inputs. The main representatives
of this generation are Ho and Lee [42] model, the Hull and White [42] model which
is an extension of the CIR model or the Vaˇsiˇcek model, the Black-Derman-Toy (BDT)
model [13], the Black and Karasinski [47] model and also the HJM [47] model.
Hull and White model can be characterized as the Ho and Lee model with special
selection of its parameters. The BDT model is similar to Ho and Lee model. Some of
these models have good analytic tractability (like the extended Vaˇsiˇcek model), while
others may be non-Markovian in nature (like the HJM model). The non-Markovian
models can become less used in practice.
1세대의 문제는 초기 Yield Curve에 적합하지 않다는 것이다. 이 문제는 2세대 이자율 모델에 의해 해결되었는데, 이것이 소위 no-arbitrage 모델들이다. 이 모델들에서는 초기 term structure들이 모델의 input으로 사용되었고 이로부터 얻은 상품의 가치는 자동으로 input과 consistent하게 되었다. 이 세대의 가장 대표적인 모델은 Ho and Lee, HW, BDT, Black Karasnski 그리고 HJM이다. 문제라면 HJM의 경우 Non-Markovian인데 이는 현장에서 실제로 잘 사용되지 않는다.
The last generation of interest rate modeling is the LIBOR market model. The
LMM is industry standard model for pricing interest rate derivatives and is based on
HJM forward rate approach. Assuming a conditional log-normal process for LIBOR,
it builds a process for LIBOR interest rate. Many implementations of this model use
Monte Carlo simulation to price European-style and Bermudian-style swaptions. This
generation of models is used to calibrate cap and swaption volatilities. Most recent
works dealt in fact with forward LIBOR or swap rates, e.g. Miltersten, Sandmann
and Sondermann [53], Brace, Gatarek and Musiela [15] and Jamshidian [44].